Rốt cuộc giáo sư Phùng phải ghê gớm tới mức nào?
Ông ta chứng minh được phỏng đoán gì, đặt nền tảng thế nào cho cơ sở lí luận, đạt được những thành tựu gì và được mọi người đánh giá ra sao?
Lâm Triều Tịch rất muốn biết những điều này.
Mấy ngày sau đó, Lâm Triều Tịch duy trì lên lớp ban ngày, chiều đi tập huấn, tối đến nhà Trần Trúc viết lập trình, đêm thì giám sát tiến độ của Lão Lâm.
Lúc rảnh rỗi cô sẽ dựa trên thành tựu học thuật của “Phùng Đức Minh” trên Bách khoa toàn thư Baidu để tìm kiếm những thuật ngữ chưa từng nghe qua.
Kết cấu không gian đa tạp Riemann gì gì đó, cả Lí thuyết tỉ lệ và hình học fractal của nó… đằng sau những danh từ đó lại là những bài luận khó hiểu, hoàn toàn giống nội dung của một không gian khác.
Hơn nữa bảy năm trước mức độ phát triển của diễn đàn học thuật về lĩnh vực tương quan kém xa sau này, nhiều khi cô không thể tra được lí thuyết abc hay giả thuyết abc có ý nghĩa gì, chỉ có thể hiểu lơ mơ nó thuộc phần nội dung trong nhánh nào.
Vậy nên cô không coi những thứ này là công việc nghiêm túc, chỉ những lúc mệt mỏi mới nhàn nhã tra cứu xem thử, việc làm này thuộc tính hóng hớt nhiều hơn, một sự hóng hớt không mục đích mang tính chất học thuật.
Giáo sư Phùng có thành tích nổi bật, người người tôn trọng, bất kể ở hội nghị học thuật hay diễn đàn trường Đại học Vĩnh xuyên, các sinh viên đều thành tâm kính phục ông.
Danh dự như cơn sóng ngập trời, đôi khi nó khiến người ta không thể thở nổi, có vẻ như ngay cả khi cô đem những thứ Lão Lâm chưa hoàn thành về thế giới này, để mà so với giáo sư Phùng, họ vẫn như con đom đóm và ánh trăng.
Lâm Triều Tịch chỉ đành tự an ủi mình rằng không sao cả, mục tiêu của Lão Lâm trước giờ chưa từng là giáo sư Phùng. Đọc Full Tại Truyenfull.vn
Trong khoảng thời gian dài đằng đẵng này, thỉnh thoảng vài tối Bùi Chi sẽ đi cùng cô. Sau ba tuần, Lâm Triều Tịch xác nhận, cái “thỉnh thoảng” này chỉ tối thứ Tư và thứ Bảy.
Thứ Tư họ cùng nhau đến nhà Trần Trúc, Bùi Chi cũng sẽ dùng máy tính một lúc, đến mười giờ tối, cậu sẽ đưa cô về nhà rồi trở về một mình.
Thứ Sáu có lớp dạy thêm của Lão Lâm, buổi chiều Lâm Triều Tịch sẽ lên lớp dạy đám học sinh Toán Olympic, cô cũng học được kha khá về Đẳng cấu đồ thị cùng hai thầy trò họ.
Bề ngoài trông có vẻ bình thản như nước, thực tế Lâm Triều Tịch ngày càng sốt ruột mong mỏi công trình nghiên cứu của Lão Lâm thu được tiến triển thực sự.
Ngay cả khi cái gọi là tiến triển chỉ là Lâm Triều Tịch đợi được đến ngày bản nháp của Lão Lâm xuất hiện lỗi sai.
Một ngày thứ Bảy đầu thu, cô đứng trên bục giảng, âm thầm kiểm tra bản nháp của Lão Lâm như mọi ngày, đầu chứa đầy kí hiệu V(G), V(H) và những tập hợp kí hiệu Toán học khác.
Trên bảng là mô hình bảy cây cầu cô vừa vẽ, nội dung mấy trăm năm trước Euler đưa ra chứng minh vượt thời đại giờ cô hoàn toàn có thể giảng cho học sinh tiểu học nghe.
“Thật ra khi đó ngài Euler thực hiện phương pháp chứng minh hết sức đơn giản, ông gọi các hòn đảo là các đỉnh, cầu nối các đảo với đất liền là các đường thẳng, vậy thì bản đồ cô vẽ sẽ trở thành hình vẽ đơn giản hơn.”
Lâm Triều Tịch khéo léo vẽ ra hình dạng tương tự một hình nón.
“Dễ hơn nhiều rồi nhỉ.”
“Nhưng thực sự không thể đi hết trong một lần ạ?”
Đám học sinh lại đặt câu hỏi.
Gợi ý đến đây cũng được kha khá, Lâm Triều Tịch nói: “Các em có thể tự thử mà?”
“Thử kiểu gì ạ?”
“Vẽ ra thôi, xuất phát từ một điểm, đi qua mỗi cây cầu rồi lại trở về điểm xuất phát, thử xem có tìm được con đường nào không~” đầu phấn di từ điểm xuất phát qua các tuyến đường.
“Hoặc cũng có thể thử vận dụng chứng minh Toán học, nhưng điều này là không thể.” Một bạn nam rất có chí khí nói leo.
Lâm Triều Tịch gật đầu.
Cô còn chưa nói xong, rất nhiều học sinh đã tự quay sang thảo luận. Người quyết định thử từng cái, người muốn tìm cách giải nào đó theo lối Toán học đơn giản, Lâm Triều Tịch không nói gì thêm.
Cô xuống dưới dạo hai vòng, trả lời một vài thắc mắc, sau đó kiền bị học sinh đuổi về chỗ.
Cô đành về chỗ, lại cầm tập nháp vừa “trộm” được của Lão Lâm ngồi đọc.
Gió thu thoảng qua, ngoài cửa sổ có vài chiếc lá rơi xuống, chúng vàng óng xốp giòn.
Lâm Triều Tịch xem lại từng tờ nháp hồi sáng vừa đọc, cô luôn có cảm giác chỗ Lão Lâm xuất hiện lỗi sai nằm trong phạm vi này, đã đến rất gần nhưng lại không thể tìm ra.
Trong lúc đó, một nhóm học sinh quyết định làm việc cùng nhau để tìm tổng các cách đi xảy ra tranh cãi trong quá trình phân công, Lâm Triều Tịch đành chạy xuống đóng góp ý kiến.
Vừa ngồi về chỗ nhấc bút lên, cô lại nghe học sinh nam “to gan” kia hét lên: “Chứng minh Euler sai kiểu gì?”
Cô chuyển tầm nhìn từ bản nháp trước mặt tới chỗ học sinh kia.
“Euler sao có thể sai được!” một học sinh khác phản đối.
“Tớ nghĩ chắc chắn có cách để đi hết trong một lần!”
“Vậy cậu tìm đi, nếu cậu tìm ra con đường “không lặp lại” là cậu đã đưa ra được ví dụ trái ngược, đưa ra ví dụ trái ngược tức là chứng minh được Euler sai.” Một bạn nữ khác nói rất mạch lạc.
Phòng học tràn ngập tiếng cãi cọ, song lại khiến người ta thấy yên tĩnh lạ thường, Lâm Triều Tịch không tới ngăn cản họ tranh luận.
Cô giở một trang giấy, đọc được một dòng chứng minh.
Kí ức trong não và nội dung trước mắt dần khớp với nhau, tiếng trẻ con cãi nhau bên tai biến mất dần.
——Tìm ra ví dụ trái ngược.
Chính là chỗ này.
——
Không thể đợi đến lúc tan học, Lâm Triều Tịch không kìm được nỗi kích động trong lòng, cô cầm bản nháp chạy tót đến phòng làm việc của Lão Lâm.
Đẩy cửa ra, cô đập tờ giấy lên bàn, tay vẫn cầm bút đỏ vừ chữa bài cho học sinh, ngòi bút hướng xuống khoanh tròn vài dòng chứng minh, sau đó đẩy tới trước mặt Lão Lâm: “Chỗ này có vấn đề!”
Tìm Lâm Triều Tịch đập thình thịch, cô chăm chú nhìn khuôn mặt thoáng kinh ngạc của bố mình, sau đó lùi nửa bước: “Con phải về lớp đây!”
Cô biết hành động của mình vừa rồi rất lố nên chỉ muốn xông ra ngoài cửa. Nhưng chưa ra đến cửa, cô đã bị gọi lại.
“Đợi đã.” Lão Lâm thoáng ngừng: “Quay người, lại đây, ngồi xuống.”
Lâm Triều Tịch cầm nắm cửa, nội tâm tuyệt vọng, nhưng không thể không ì ạch xoay người quay lại.
Lão Lâm và Bùi Chi đều không rảnh để ý cô, biểu cảm của họ đồng nhất. Sau sự kinh ngạc ngắn ngủi, họ nhíu mày đăm chiêu, chăm chú đọc những nội dung cô vừa khoanh tròn.
Lâm Triều Tịch tất cung tất kính ngồi xuống, cô không dám thở mạnh.
Lúc đó Lão Lâm nhận ra chứng minh của mình có sai sót là bởi giả thiết đưa ra có vấn đề. Sau khi chứng minh ánh xạ gây ra một tự đồng cấu g(p), ông thẳng thắn nhận định s là tập con của nó.
Lúc đó cô miễn cưỡng ghi nhớ những kí hiệu mấu chốt như C→c, aibj→b, lại không hiểu hoàn toàn lí do mà giả thiết này có vấn đề. Đồng thời cũng do những bài chứng minh cô làm đi làm lại tràn ngập những kí hiệu này nên mới không nhận ra nó, cho đến khi học sinh kia nói về “ví dụ trái ngược”.
Đúng vậy, bản chất vẫn là một ví dụ trái ngược. Khi các nhà toán học gặp khó khăn trong quá trình chứng minh một mệnh đề, họ bắt đầu tìm kiếm các ví dụ trái ngược để chứng minh rằng nó không đúng. Nhưng họ cũng dễ dàng bỏ quên nó trong những việc hàng ngày.
Cây long não ngoài phòng làm việc của Lão Lâm không ngả vàng, sang thu lá cây vẫn xanh ngắt, Lâm Triều Tịch hít một hơi sâu, cô nghe ông nói: “Con nói đúng, chỗ này sai rồi.”
Vẻ mặt ông không tránh được nỗi mất mát và tiếc nuối, nhưng cũng rất nhẹ nhõm. Thừa nhận sai lầm của bản thân đồng nghĩa bức tường rào cản lại hiện ra, mọi nỗ lực trước đó coi như đổ sông đổ bể, mọi giả thiết đều bị lật đổ hoàn toàn, đối với bất kì ai đã nỗ lực trong khoảng thời gian dài, điều này là vô cùng tàn nhẫn.
Lâm Triều Tịch mím môi, cô nhất thời không biết nên làm gì để Lão Lâm lấy lại niềm tin, để từ cơ sở đó phát hiện ra một phương pháp mới. Đọc Full Tại Truyenfull.vn
“Con phát hiện ra kiểu gì vậy?” Lão Lâm cắt ngang mạch suy nghĩ của cô.
“Dạ? Vừa rồi đám học sinh bỗng hô lên “ví dụ trái ngược” làm con nghĩ, giả thiết bố đưa ra có vẻ cũng chưa cân nhắc vấn đề Tập rỗng?”
Cô bịa bừa một lí do, vấn đề thực tế không đơn giản đến vậy, kiến thức của một học sinh cấp ba như cô không đời nào có thể phát hiện ra, càng chẳng thể nào với tới cái gọi là Tập rỗng. Nhưng cô vẫn quan sát Lão Lâm, hi vọng lí do vớ vẩn của mình có thể qua ải này.
“Nghe hơi giống bốc phét.” Lão Lâm tổng kết.
“!!!” Lâm Triều Tịch tức khắc chột dạ, cô miễn cưỡng cãi lại: “Thật sự là vậy.”
“Con nên nói: Đột nhiên được thần Toán học chiếu cố.” Lão Lâm chậm rãi mở miệng.
“Đột nhiên được thần Toán học chiếu cố?”
“Ừm.” Lão Lâm bình thản, ánh mắt mang ý cười nhìn phần cô khoanh đỏ: “Cũng đột nhiên chiếu cố bố.”
Ông ta chứng minh được phỏng đoán gì, đặt nền tảng thế nào cho cơ sở lí luận, đạt được những thành tựu gì và được mọi người đánh giá ra sao?
Lâm Triều Tịch rất muốn biết những điều này.
Mấy ngày sau đó, Lâm Triều Tịch duy trì lên lớp ban ngày, chiều đi tập huấn, tối đến nhà Trần Trúc viết lập trình, đêm thì giám sát tiến độ của Lão Lâm.
Lúc rảnh rỗi cô sẽ dựa trên thành tựu học thuật của “Phùng Đức Minh” trên Bách khoa toàn thư Baidu để tìm kiếm những thuật ngữ chưa từng nghe qua.
Kết cấu không gian đa tạp Riemann gì gì đó, cả Lí thuyết tỉ lệ và hình học fractal của nó… đằng sau những danh từ đó lại là những bài luận khó hiểu, hoàn toàn giống nội dung của một không gian khác.
Hơn nữa bảy năm trước mức độ phát triển của diễn đàn học thuật về lĩnh vực tương quan kém xa sau này, nhiều khi cô không thể tra được lí thuyết abc hay giả thuyết abc có ý nghĩa gì, chỉ có thể hiểu lơ mơ nó thuộc phần nội dung trong nhánh nào.
Vậy nên cô không coi những thứ này là công việc nghiêm túc, chỉ những lúc mệt mỏi mới nhàn nhã tra cứu xem thử, việc làm này thuộc tính hóng hớt nhiều hơn, một sự hóng hớt không mục đích mang tính chất học thuật.
Giáo sư Phùng có thành tích nổi bật, người người tôn trọng, bất kể ở hội nghị học thuật hay diễn đàn trường Đại học Vĩnh xuyên, các sinh viên đều thành tâm kính phục ông.
Danh dự như cơn sóng ngập trời, đôi khi nó khiến người ta không thể thở nổi, có vẻ như ngay cả khi cô đem những thứ Lão Lâm chưa hoàn thành về thế giới này, để mà so với giáo sư Phùng, họ vẫn như con đom đóm và ánh trăng.
Lâm Triều Tịch chỉ đành tự an ủi mình rằng không sao cả, mục tiêu của Lão Lâm trước giờ chưa từng là giáo sư Phùng. Đọc Full Tại Truyenfull.vn
Trong khoảng thời gian dài đằng đẵng này, thỉnh thoảng vài tối Bùi Chi sẽ đi cùng cô. Sau ba tuần, Lâm Triều Tịch xác nhận, cái “thỉnh thoảng” này chỉ tối thứ Tư và thứ Bảy.
Thứ Tư họ cùng nhau đến nhà Trần Trúc, Bùi Chi cũng sẽ dùng máy tính một lúc, đến mười giờ tối, cậu sẽ đưa cô về nhà rồi trở về một mình.
Thứ Sáu có lớp dạy thêm của Lão Lâm, buổi chiều Lâm Triều Tịch sẽ lên lớp dạy đám học sinh Toán Olympic, cô cũng học được kha khá về Đẳng cấu đồ thị cùng hai thầy trò họ.
Bề ngoài trông có vẻ bình thản như nước, thực tế Lâm Triều Tịch ngày càng sốt ruột mong mỏi công trình nghiên cứu của Lão Lâm thu được tiến triển thực sự.
Ngay cả khi cái gọi là tiến triển chỉ là Lâm Triều Tịch đợi được đến ngày bản nháp của Lão Lâm xuất hiện lỗi sai.
Một ngày thứ Bảy đầu thu, cô đứng trên bục giảng, âm thầm kiểm tra bản nháp của Lão Lâm như mọi ngày, đầu chứa đầy kí hiệu V(G), V(H) và những tập hợp kí hiệu Toán học khác.
Trên bảng là mô hình bảy cây cầu cô vừa vẽ, nội dung mấy trăm năm trước Euler đưa ra chứng minh vượt thời đại giờ cô hoàn toàn có thể giảng cho học sinh tiểu học nghe.
“Thật ra khi đó ngài Euler thực hiện phương pháp chứng minh hết sức đơn giản, ông gọi các hòn đảo là các đỉnh, cầu nối các đảo với đất liền là các đường thẳng, vậy thì bản đồ cô vẽ sẽ trở thành hình vẽ đơn giản hơn.”
Lâm Triều Tịch khéo léo vẽ ra hình dạng tương tự một hình nón.
“Dễ hơn nhiều rồi nhỉ.”
“Nhưng thực sự không thể đi hết trong một lần ạ?”
Đám học sinh lại đặt câu hỏi.
Gợi ý đến đây cũng được kha khá, Lâm Triều Tịch nói: “Các em có thể tự thử mà?”
“Thử kiểu gì ạ?”
“Vẽ ra thôi, xuất phát từ một điểm, đi qua mỗi cây cầu rồi lại trở về điểm xuất phát, thử xem có tìm được con đường nào không~” đầu phấn di từ điểm xuất phát qua các tuyến đường.
“Hoặc cũng có thể thử vận dụng chứng minh Toán học, nhưng điều này là không thể.” Một bạn nam rất có chí khí nói leo.
Lâm Triều Tịch gật đầu.
Cô còn chưa nói xong, rất nhiều học sinh đã tự quay sang thảo luận. Người quyết định thử từng cái, người muốn tìm cách giải nào đó theo lối Toán học đơn giản, Lâm Triều Tịch không nói gì thêm.
Cô xuống dưới dạo hai vòng, trả lời một vài thắc mắc, sau đó kiền bị học sinh đuổi về chỗ.
Cô đành về chỗ, lại cầm tập nháp vừa “trộm” được của Lão Lâm ngồi đọc.
Gió thu thoảng qua, ngoài cửa sổ có vài chiếc lá rơi xuống, chúng vàng óng xốp giòn.
Lâm Triều Tịch xem lại từng tờ nháp hồi sáng vừa đọc, cô luôn có cảm giác chỗ Lão Lâm xuất hiện lỗi sai nằm trong phạm vi này, đã đến rất gần nhưng lại không thể tìm ra.
Trong lúc đó, một nhóm học sinh quyết định làm việc cùng nhau để tìm tổng các cách đi xảy ra tranh cãi trong quá trình phân công, Lâm Triều Tịch đành chạy xuống đóng góp ý kiến.
Vừa ngồi về chỗ nhấc bút lên, cô lại nghe học sinh nam “to gan” kia hét lên: “Chứng minh Euler sai kiểu gì?”
Cô chuyển tầm nhìn từ bản nháp trước mặt tới chỗ học sinh kia.
“Euler sao có thể sai được!” một học sinh khác phản đối.
“Tớ nghĩ chắc chắn có cách để đi hết trong một lần!”
“Vậy cậu tìm đi, nếu cậu tìm ra con đường “không lặp lại” là cậu đã đưa ra được ví dụ trái ngược, đưa ra ví dụ trái ngược tức là chứng minh được Euler sai.” Một bạn nữ khác nói rất mạch lạc.
Phòng học tràn ngập tiếng cãi cọ, song lại khiến người ta thấy yên tĩnh lạ thường, Lâm Triều Tịch không tới ngăn cản họ tranh luận.
Cô giở một trang giấy, đọc được một dòng chứng minh.
Kí ức trong não và nội dung trước mắt dần khớp với nhau, tiếng trẻ con cãi nhau bên tai biến mất dần.
——Tìm ra ví dụ trái ngược.
Chính là chỗ này.
——
Không thể đợi đến lúc tan học, Lâm Triều Tịch không kìm được nỗi kích động trong lòng, cô cầm bản nháp chạy tót đến phòng làm việc của Lão Lâm.
Đẩy cửa ra, cô đập tờ giấy lên bàn, tay vẫn cầm bút đỏ vừ chữa bài cho học sinh, ngòi bút hướng xuống khoanh tròn vài dòng chứng minh, sau đó đẩy tới trước mặt Lão Lâm: “Chỗ này có vấn đề!”
Tìm Lâm Triều Tịch đập thình thịch, cô chăm chú nhìn khuôn mặt thoáng kinh ngạc của bố mình, sau đó lùi nửa bước: “Con phải về lớp đây!”
Cô biết hành động của mình vừa rồi rất lố nên chỉ muốn xông ra ngoài cửa. Nhưng chưa ra đến cửa, cô đã bị gọi lại.
“Đợi đã.” Lão Lâm thoáng ngừng: “Quay người, lại đây, ngồi xuống.”
Lâm Triều Tịch cầm nắm cửa, nội tâm tuyệt vọng, nhưng không thể không ì ạch xoay người quay lại.
Lão Lâm và Bùi Chi đều không rảnh để ý cô, biểu cảm của họ đồng nhất. Sau sự kinh ngạc ngắn ngủi, họ nhíu mày đăm chiêu, chăm chú đọc những nội dung cô vừa khoanh tròn.
Lâm Triều Tịch tất cung tất kính ngồi xuống, cô không dám thở mạnh.
Lúc đó Lão Lâm nhận ra chứng minh của mình có sai sót là bởi giả thiết đưa ra có vấn đề. Sau khi chứng minh ánh xạ gây ra một tự đồng cấu g(p), ông thẳng thắn nhận định s là tập con của nó.
Lúc đó cô miễn cưỡng ghi nhớ những kí hiệu mấu chốt như C→c, aibj→b, lại không hiểu hoàn toàn lí do mà giả thiết này có vấn đề. Đồng thời cũng do những bài chứng minh cô làm đi làm lại tràn ngập những kí hiệu này nên mới không nhận ra nó, cho đến khi học sinh kia nói về “ví dụ trái ngược”.
Đúng vậy, bản chất vẫn là một ví dụ trái ngược. Khi các nhà toán học gặp khó khăn trong quá trình chứng minh một mệnh đề, họ bắt đầu tìm kiếm các ví dụ trái ngược để chứng minh rằng nó không đúng. Nhưng họ cũng dễ dàng bỏ quên nó trong những việc hàng ngày.
Cây long não ngoài phòng làm việc của Lão Lâm không ngả vàng, sang thu lá cây vẫn xanh ngắt, Lâm Triều Tịch hít một hơi sâu, cô nghe ông nói: “Con nói đúng, chỗ này sai rồi.”
Vẻ mặt ông không tránh được nỗi mất mát và tiếc nuối, nhưng cũng rất nhẹ nhõm. Thừa nhận sai lầm của bản thân đồng nghĩa bức tường rào cản lại hiện ra, mọi nỗ lực trước đó coi như đổ sông đổ bể, mọi giả thiết đều bị lật đổ hoàn toàn, đối với bất kì ai đã nỗ lực trong khoảng thời gian dài, điều này là vô cùng tàn nhẫn.
Lâm Triều Tịch mím môi, cô nhất thời không biết nên làm gì để Lão Lâm lấy lại niềm tin, để từ cơ sở đó phát hiện ra một phương pháp mới. Đọc Full Tại Truyenfull.vn
“Con phát hiện ra kiểu gì vậy?” Lão Lâm cắt ngang mạch suy nghĩ của cô.
“Dạ? Vừa rồi đám học sinh bỗng hô lên “ví dụ trái ngược” làm con nghĩ, giả thiết bố đưa ra có vẻ cũng chưa cân nhắc vấn đề Tập rỗng?”
Cô bịa bừa một lí do, vấn đề thực tế không đơn giản đến vậy, kiến thức của một học sinh cấp ba như cô không đời nào có thể phát hiện ra, càng chẳng thể nào với tới cái gọi là Tập rỗng. Nhưng cô vẫn quan sát Lão Lâm, hi vọng lí do vớ vẩn của mình có thể qua ải này.
“Nghe hơi giống bốc phét.” Lão Lâm tổng kết.
“!!!” Lâm Triều Tịch tức khắc chột dạ, cô miễn cưỡng cãi lại: “Thật sự là vậy.”
“Con nên nói: Đột nhiên được thần Toán học chiếu cố.” Lão Lâm chậm rãi mở miệng.
“Đột nhiên được thần Toán học chiếu cố?”
“Ừm.” Lão Lâm bình thản, ánh mắt mang ý cười nhìn phần cô khoanh đỏ: “Cũng đột nhiên chiếu cố bố.”
